mANISKAli's Blog

Q6-qu semoga bisa menjadi penyelamat

Posted on: Juni 19, 2009

GRUP ABELIAN

 

 

Grup Abelian…? Apakah hal yang terfikir saat mendengar kata tersebut. Hmmmm… kedengarannya keren kan. Dari namanya grup abelian punya kans yang besar intuk menyaingi grup band Ungu atau vocal grup MAIA. Woys…tapi anda salah jika meyamakannya dengan grup band UNGU atau vocal grup MAIA yang lagi naik daun akhir2 ini. Karena sebenarnya grup abelian itu adalah suatu istilah dalam ilmu matematika untuk suatu grup dengan sifat komutatifnya.

Ckk…ckk..ckk…apan lagi tuch? Nah lo jangan pusing dulu karena denger kata matematika.

            OK dech untuk lebih jelasnya niska kasi tau dari awal ya !

            Dalam matematika, grup adalah suatu himpunan, beserta satu operasi biner. Suatu operasi dapat dikatakan biner jika dua buah unsur dalam suatu himpunan dioperasikan maka akan menghasilkan unsur tunggal yang masih berada dalam himpunan itu. Asal-usul mengenai grup berawal dari kerja keras eyang Evariste Galois (1830), yang berkaitan dengan masalah persamaan aljabar yang terpecahkan secara radikal.

            Dari beberapa referensi , dapat kita simpulkan bahwa definisi dari grup adalah :

            Suatu himpunan G yang tak kosong dikatakan sebagai grup, jika di dalam G didefinisikan suatu operasi biner yang disebut operasi kali (x), sedemikian hingga :

  • Untuk semua a, b elemen G berlaku a x b elemen G,

Dalam hal ini operasi yang dimaksud bukan berarti operasi perkalian secara khusus pada bilangan, tapi berlaku secara umum dan tergantung dari himpunan yang dibentuk.

  • Untuk semua a, b, c elemen G berlaku a x (b x c) = (a x b) x c,

Sifat di atas biasa kita namakan sifat asosiatif terhadap perkalian, artinya bahwa G tidak memperhatikan pengelompokan.

  • Terdapat unsur  e elemen G sedemikian hingga a x e = e x a = a

Kita namakan bahwa e adalah unsur identitas di G. Jadi, G harus memiliki unsur identitas.

  • Untuk setiap a elemen G, terdapat a-1 elemen G sehingga axa-1 = a-1 x a = a

Kita akan artikan bahwa semua unsur dalam G memiliki invers yang juga ada dalam G terhadap operasi yang diberikan.

 

Nah selanjutnya suatu grup dikatakan abelian (komutatif) jika untuk setiap unsur  di G berlaku ab = ba

 

Berikut akan kita buktikan suatu himpunan yang tak kosong merupakan grup abelian atau tidak :

  1. Himpunan bilangan rasional (Q), yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dengan a/b dengan a, b elemen bilangan bulat (Z) dan b tidak sama dengan 0. Disini akan kita menggunakan Q\ {0}, yang mencakup setiap bilangan rasional kecuali 0. Misalkan pula operasi yang digunakan yaitu operasi perkalian (x).

Bukti:

a)     Ambil x, y elemen Q dimana x = a/b dan y = c/d dengan b, d tidak sama dengan 0 berlaku  a/b x c/d elemen Q.

b)     Ambil x, y, z elemen Q dimana x = a/b, y = c/d dan z =  e/f, dengan b , d, f tidak sama dengan 0. Maka berlaku :

a/b x (c/d x e/f) = (a/b x c/d) x e/f

c)      Terdapat  a/a elemen Q sehingga berlaku :

a/a x  b/c =  b/c x  a/a = b/c

d)     Untuk setiap x elemen Q dimana x = a/b terdapat y = b/a  sehingga :

a/b x b/a = b/a x a/b = a/a  = b/b = 1

 

ð Dari a),b),c) dan d) terbukti bahwa Q\ {0} terhadap operasi ( x ) merupakan grup.

                                    Grup ini juga merupakan grup abelian karena berlaku :                           a/b x c/d  = c/d x a/b

 

                                                                

2. Misalkan               rm1
dengan operasi perkalian matriks dalam G, akan dibuktikan bahwa G membentuk grup. ( Jadi G adalah himpunan matiriks ordo 2×2 yang entri-entrinya bilangan real yang memenuhi ad-bc tidak sama dengan 0 ).
 Bukti:

Untuk membuktikan ini, langkah pertama adalah kita harus tahu apa tujuan kita. Dalam memenuhi tujuan itu, apa yang harus pertama kita lakukan. Kemudian kita berusaha untuk mengetahui trik untuk mendapatkan solusinya. Menurut defenisi grup, ada 4 hal yang harus dipenuhi agar suatu himpunan takkosong membentuk suatu grup. Pertama bersifat tertutup terhadap operasi yang diberikan, kedua bersifat asosiatif, memiliki unsur identitas, dan semua unsurnya punya invers yang juga ada didalam himpunan tersebut.
Sebaiknya dalam kita membuktikan suatu himpunan membentuk grup, harus mengikuti kata-kata dalam defenisi grup.Untuk itu, perhatikan langkah-langkah dibawah ini dan bandingkan dengen kata-kata dalam defenisi grup.

 
a.Ambil sebarang rm2
elemen G, karena itu, maka haruslah ad – bc tidak sama dengan 0 dan wz – xy tidak sama dengan 0. akan ditunjukan bahwa A.B unsur di G. Sekarang, perhatikan bahwa
rms3
Jelas, entri-entri matriks pada ruas kanan adalah bilangan-bilangan real. Kemudian,
(aw + by)(cx + dz) – (cw + dy)(ax + bz) = (ad – bc)(wz – xy) tidak sama dengan 0.
Ini menunjukkan bahwa, AB unsur di G.
b.Ambil sebarang rms4unsur dalam G,akan ditunjukan A(BC)= (AB)C. perhatikan :

rm5
Jadi G tidak memperhatikan pengelompokkan.
c. Perhatikan bahwa rms6
adalah unsur G, karena 1(1) – 0(0) = 1 tidak samadengan 0, akan ditunjukan bahwa I merupakan unsur (matriks) identitas dalam G terhadap operasi perkalian matriks. Ambil sebarang unsur rms7

dalam G. adit A.I=I.A=A. perhatikan bahwa :

rms8
jadi I adalah unsur identitas dalam G.
d.Ambil sebarang            rms9
maka ad – bc tidaksama dengan 0. Sekarang pandang matriks

rms10

yang dibangun dari A. Matriks D ini merupakan unsur dalam G, karena semua entrinya unsur dalam bilangan real, dan

rms11
Oleh karena AD = I = DA, maka berarti
Ini melengkapi pembuktian bahwa G sebuah grup.
Sekarang, pilih matriks-matriks

rms12
Ini merupakan suatu bukti bahwa G grup yang tidak komutatif (non-Abelian). Jadi untuk menunjukan G tidak komutatif cukup memilih salah satu yang tidak memenuhi dan dapat disimpulkan bahwa G tidak komutatif.

3.Buktikan bahwa jika G suatu grup abelian, maka untuk semua a,b elemen G dan semua bilangan bulat n berlaku :

(ab)x =axbx

 

Bukti:

Untuk membuktikannya digunakan induksi matematik

  • Basis,

Untuk n = 1 maka (ab)1 = a1b1= ab

  • Hipotesa,

Anggap benar untuk n = k maka (ab)k = akbk

  • Langkah induksi,

Akan dibuktikan benar untuk n = k+1 maka (ab)k+1 = ak+1bk+1!

(ab)k+1 = (ab)k (ab)1

            = akbk a1b1

= aka1bk b1

            = ak+1bk+1

                                               

SIMPULAN :

a)     Suatu himpunan yang tak kosong merupakan suatu grup jika memenuhi 4 hal yaitu :

1)     Bersifat tertutup terhadap operasi yang diberikan.

2)     Bersifat komutatif.

3)     Memiliki unsur identitas.

4)     Tiap unsur dalam himpunan memiliki invers yang juga merupakan unsur dari himpunan itu.

b)     Suatu grup dapat disebut grup abelian jika untuk setiap unsur di G memenuhi ab = ba .

a)     Grup belum tentu merupakan grup abelian.

 

 

 

 

 

Sumber :

1)     Fraleigh J. B., 1994, A First Course in Abstract Algebra, Addison-Wesley Publising Company inc., United States.

2)     http://wijna .web.ugm.ac.id

3)     http://wikipedia .com

 

 

 

 

 

 

                                             

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s


    • Mr WordPress: Hi, this is a comment.To delete a comment, just log in, and view the posts' comments, there you will have the option to edit or delete them.

    Kategori

    %d blogger menyukai ini: